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Quest21 場合の数で3の倍数を考える時の小技

こんにちは、ドラゴン桜の漫画の方で理系国語で60を目標にみたいなこと書いてたので驚きました、わたマータです





本日は場合の数で3の倍数を考える時の小技を書いてみます

みなさん3の倍数と聞いた時に考えることは以下の事実だと思います

「各位の数字の和が3の倍数となれば3の倍数となる」





しかし、これを使わない方が簡単な問題もあるのです





3の倍数って連続する整数を考えた際、どのくらいの頻度ででてくるのでしょうか

当たり前なことを質問して申し訳ありません
3個おきに一つですね






例えば、以下の例題を考えます
『1から9のみでつくる、n桁の自然数で3の倍数となる場合の数を求めよ』

各位の和が3の倍数を用いた場合、各位の数字を3で割った余りによって分類し、各位全部における3の倍数の個数をℓなどと置いてn-ℓの振り分け方を考えることになります
組み合わせ、順列、Σ計算など煩雑になって難しくなってきます





一方先ほどの質問の話を用いると、下一桁が1、2、3の中に3の倍数が一つ、4、5、6の中に3の倍数が一つ、7、8、9の中に3の倍数が一つとわかるので残りの桁を任意で考えればよいことになります

よって、3×9^(n-1)通り、となります





さらに問題を複雑にしてみましょう
最高位以外の各位に0を用いてもよいことにしてみましょう




下一桁が0のみさっきの考えから別に考えてみます
そうすると(n-1)桁の自然数×10となります
10の因数に3が含まれてないので、(n-1)桁の自然数が3の倍数になればよいと考えることができます
このような操作で000と下桁の0を増やしていきΣ計算をすれば求めていけます

n≧2の時、3×9×(10^(nー2)+10^(n-3)+…+10+1)+3=3×10^(n-1)通り、となります




さらに応用してみます

下一桁の数字に注目してましたが実は場合の数を考える際、どの位の数字に関して上記の考えを用いてもよいことがわかります

どういうことかというと、例えば最高位の数字と一の位の数字を入れ替えたとしても3の倍数かどうかに変化はありません

各位の和が3の倍数であるかどうかによって元の数が3の倍数かどうかが分かります

各位の数字を入れ替えたとしても各位の和が変化することはないのですから、最高位の数字を先ほどの下一桁によって3の倍数の個数を考える方法に適用できるのです



この考えを使うと、最高位が1から9のみであるため、最高位を除いた数字一つに対して3通りずつ3の倍数があることがわかります
そうするとさっきの問題の答えが一発で、3×10^(n-1)とわかってしまうのです



当たり前なのにあんまり使おうって思えない小技の一つだと思いますので、便利に使える機会があれば使ってみてください


今日はこの辺で


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コメント

No title

受験関係の本でも裏ワザ集みたいなのがありますが、試験は時間との闘いなので、うまく利用して乗り切りたいですね(^o^)

今年から理三は面接がありますね。
明後日からの入試、皆さん実力を出し切ってほしいです。

Re: No title

> 受験関係の本でも裏ワザ集みたいなのがありますが、試験は時間との闘いなので、うまく利用して乗り切りたいですね(^o^)
>
> 今年から理三は面接がありますね。
> 明後日からの入試、皆さん実力を出し切ってほしいです。

コメントありがとうございます。コメントもらえてうれしいです。

小技裏技は便利なのですが正攻法も学んで思考力を高めないとあだになるかもしれないので、それだけだとよくないのかもしれませんね、

東大理三の面接どうなるんでしょうね、僕の場合多浪扱いになってしまうので求められるものが高いレベルになるのではないかと少し不安です。
僕は以前東大受験した際、全力を出し切れなかったこと(本番ではなくて準備)で未練が残り再受験することになりました。受験生のみなさんには後悔しない受験をしてほしいですね。

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