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Quest25 今年の京都大学数学6番と等面四面体

こんにちは、わたマータです






なんやら今年の京大理系数学に立体図形の難問が出題されたと聞いたので解いてみました





等面四面体のある事実を応用することでとても分かりやすくなりました




とある事実とは、「等面四面体は直方体に埋め込むことができる」というものです






ひとまず、以下の手書きの画像を見てください
等面四面体






僕がどうしてこのような立体に埋め込もうと思ったかと言いますと、1996年後期の東大の試験に中点と中点を結んで垂直といった、今回に近い設定があったため、等面四面体じゃなくても応用できるのではないかと思ったからです





平面αも面だと難しいのでどのようにしたら直線にできるかなと考えました




河合塾では難となっていましたが、秋山仁の空間図形の本で鍛えてたのでこのくらいの四面体なら対応できたみたいです






今回のような四面体は問題の内容は違えど、過去にたくさん出てきたはずです
問題が解けたからそれで満足して考察をなおざりにしてはこの問題は難しかったかもしれませんね





今日はこの辺で


追記:
等面四面体が立体に埋め込めるのは面が鋭角三角形の時だけです
そのため、今回のように立体に埋め込める場合ですべてを網羅できているとは限らないことに気づきました
今回の方法でヒントを見つけてベクトルで示す方がよさそうですね

しかし、すべての場合が網羅できないわけではないのかなと思います
平行四辺形に見える方向で今回の四面体を考えた際、辺の長さが異なる二辺が図形の形を決定しているので、この二辺からスタートすると、題意を満たす四面体を入れる立体はできていると直感的にわかるからです
題意におけるすべての四面体を網羅できるのではないかと仮定した際、等面四面体における鈍角三角形が埋め込めないことと何が違うのかと言いますと、異なる辺の二辺以外の辺の長さが決まっていても埋め込む長方形の選び方に自由度があることだと思います

数式的証明をしようとすると余弦定理ででてくるcosが厄介でうまくできませんでした

機会があればもっと考察してみたいと思います


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