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Quest30 二個目の玉の確率とカタラン数

こんにちは、わたマータです


今日は数学で面白い考え方を思いついたので記事にしてみます




問題はこちらです

問.袋の中に、赤玉2個と白玉3個が入っている。AとBがこの順に交互に1個ずつ玉を取り出し、2個目の玉を取り出した方を勝ちとする。ただし取り出した玉は元に戻さない。この時、Bが勝つ確率を求めよ。








この問題は素直に解くと乗法定理で解く問題なのですが、なんか答えがきれいなのでうまい方法がないかなと考えてみました




その解法がカタラン数の一般の求め方と少しだけ似ていたので、とても面白いと思います







A→B→A→B→Aと順番に引いていくので2個目の赤玉を「赤2」と区別して、赤2がBのどちらかに入ると考えればすぐに答えが「2/5」となります




この考え方だと、言わずとも赤2が一回目に出てしまうこともありますのでこれだと間違いとなります





そこで僕は赤2が先に出てしまった場合、最後に引いたAから1番目と考えてひっくり返すことを考えました



この考えがカタラン数の折り返して一対一にもっていく解法に似ていますよね




これは発想としては悪くないのですがすっきり明快とはいかないようです






なので現実ではありえないですが、2番目に来るはずの赤玉が先にくる場合をつくりあげて確率を考えることにしました

そうすると確率ですべてを区別して数え上げるので、全事象が2倍になります

ビデオテープでくじ引きの様子を録画しているとしましょう
2番目に来るはずの赤玉が最初にでてしまった場合の引き方は、ビデオテープで巻き戻しすると確かに2番目に引いていてAとBのどちらが引くかについて変化はありません
現実で引いた逆の順でも勝ち負けは変わらないと考えて事象を増やしたのです

巻き戻しすることで見ることができる引き方は、現実に起こる引き方と一対一に対応しているので、確かに最初の赤2を何番目に引くかを考えるだけで「2/5」という答えが出るんですね


確率はきれいな答えが出ると別解がありそうと感じるので、頭を使うのにはとても良い分野かもしれませんね


今日はわかりにくい感じの記事ですみません


今日はこの辺で


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